<<PrSAT`

Nickerson's RBH model:

MODEL1=PrSAT[{Pr[H]==1/2,
Pr[R&&B|H]==50/1000,Pr[R&&B|!H]==25/1000,
Pr[R&&!B|H]==0,Pr[R&&!B|!H]==25/1000,
Pr[!R&&B|H]==50/1000,Pr[!R&&B|!H]==75/1000,
Pr[!R&&!B|H]==900/1000,Pr[!R&&!B|!H]==875/1000}]

These constraints give a unique model:

Solve[AlgebraicForm[{Pr[H]==1/2,
Pr[R&&B|H]==50/1000,Pr[R&&B|!H]==25/1000,
Pr[R&&!B|H]==0,Pr[R&&!B|!H]==25/1000,
Pr[!R&&B|H]==50/1000,Pr[!R&&B|!H]==75/1000,
Pr[!R&&!B|H]==900/1000,Pr[!R&&!B|!H]==875/1000},{R,B,H}]][[1]]//Sort

EvaluateProbability[{Pr[B],Pr[!B],Pr[R]},MODEL1]

EvaluateProbability[{Pr[H|R&&B],Pr[H|!R&&B],Pr[H|!R&&!B]},MODEL1]

Nickerson's rBH model:

MODEL2=PrSAT[{Pr[H]==1/2,
Pr[B|r&&H]==1,Pr[B|r&&!H]==500/1000,
Pr[!B|r&&H]==0,Pr[!B|r&&!H]==500/1000,
Pr[B|!r&&H]==53/1000,Pr[B|!r&&!H]==79/1000,
Pr[!B|!r&&H]==947/1000 ,Pr[!B|!r&&!H]==921/1000,
Pr[H|r&&B]==2/3,Pr[r&&B&&H]==1/40}]

These don't give a unique model!

Solve[AlgebraicForm[{Pr[H]==1/2,
Pr[B|r&&H]==1,Pr[B|r&&!H]==500/1000,
Pr[!B|r&&H]==0,Pr[!B|r&&!H]==500/1000,
Pr[B|!r&&H]==53/1000,Pr[B|!r&&!H]==79/1000,
Pr[!B|!r&&H]==947/1000 ,Pr[!B|!r&&!H]==921/1000,
Pr[H|r&&B]==2/3,Pr[r&&B&&H]==1/40},{B,r,H}]][[1]]//Sort

Nickerson's expectations – "under H"

EvaluateProbability[{Pr[B|r&&H] Abs[Pr[H|r&&B]-Pr[H|r]]+Pr[!B|r&&H] Abs[Pr[H|r&&!B]-Pr[H|r]]},MODEL2]//N

EvaluateProbability[{Pr[B|!r&&H] Abs[Pr[H|!r&&B]-Pr[H|r]]+Pr[!B|!r&&H] Abs[Pr[H|!r&&!B]-Pr[H|r]]},MODEL2]//N

Nickerson's expectations – "under ~H"

EvaluateProbability[{Pr[B|r&&!H] Abs[Pr[!H|r&&B]-Pr[!H|r]]+Pr[!B|r&&!H] Abs[Pr[!H|r&&!B]-Pr[!H|r]]},MODEL2]//N

EvaluateProbability[{Pr[B|!r&&!H] Abs[Pr[!H|!r&&B]-Pr[!H|!r]]+Pr[!B|!r&&!H] Abs[Pr[!H|!r&&!B]-Pr[!H|!r]]},MODEL2]//N

Why not calculate them this way instead -- "unconditionally" -- not "under either hypothesis"?

EvaluateProbability[{Pr[B|r] Abs[Pr[H|r&&B]-Pr[H|r]]+Pr[!B|r] Abs[Pr[H|r&&!B]-Pr[H|r]]},MODEL2]//N

EvaluateProbability[{Pr[B|!r] Abs[Pr[H|!r&&B]-Pr[H|!r]]+Pr[!B|!r] Abs[Pr[H|!r&&!B]-Pr[H|!r]]},MODEL2]//N

Nickerson's bRH model:

MODEL3=PrSAT[{Pr[H]==1/2,
Pr[R|b&&H]==500/1000,Pr[R|b&&!H]==250/1000,
Pr[R|!b&&H]==0,Pr[R|!b&&!H]==28/1000,
Pr[!R|b&&H]==500/1000,Pr[!R|b&&!H]==750/1000,
Pr[!R|!b&&H]==1,Pr[!R|!b&&!H]==972/1000,
Pr[H|R&&b]==2/3,Pr[R&&b&&H]==1/40}]

Solve[AlgebraicForm[{Pr[H]==1/2,
Pr[R|b&&H]==500/1000,Pr[R|b&&!H]==250/1000,
Pr[R|!b&&H]==0,Pr[R|!b&&!H]==28/1000,
Pr[!R|b&&H]==500/1000,Pr[!R|b&&!H]==750/1000,
Pr[!R|!b&&H]==1,Pr[!R|!b&&!H]==972/1000,
Pr[H|R&&b]==2/3,Pr[R&&b&&H]==1/40},{b,R,H}]][[1]]//Sort

Nickerson's expectations – "under H": he calculates this first one wrong, but this correction only makes his case stronger...

EvaluateProbability[{Pr[R|b&&H] Abs[Pr[H|R&&b]-Pr[H|b]]+Pr[!R|b&&H] Abs[Pr[H|b&&!R]-Pr[H|b]]},MODEL3]//N

EvaluateProbability[{Pr[R|!b&&H] Abs[Pr[H|R&&!b]-Pr[H|!b]]+Pr[!R|!b&&H] Abs[Pr[H|!b&&!R]-Pr[H|!b]]},MODEL3]//N

Why not calculate them this way instead -- "unconditionally" -- not "under either hypothesis"?

EvaluateProbability[{Pr[R|b] Abs[Pr[H|R&&b]-Pr[H|b]]+Pr[!R|b] Abs[Pr[H|b&&!R]-Pr[H|b]]},MODEL3]//N

EvaluateProbability[{Pr[R|b] Abs[Pr[H|R&&b]-Pr[H|b]]+Pr[!R|b] Abs[Pr[H|b&&!R]-Pr[H|b]]},MODEL2]//N

Postscript: No Carnapian models can exhibit the Nickerson-ordering.  Here's a quick proof, using Maher's parameterization of Carnap's later systems:

Computing the Measure on the State Descriptions

s1

s1=((1/2)((1+2(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((1+2 (Subscript[γ, F]))/3)((1+2 (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G])//FullSimplify

(1/9) (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]) (2+(Subscript[γ, G])+(Subscript[γ, F]) (1+5 (Subscript[γ, G])))//TeXForm

s2

s2=((1/2)((2(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((1+2 (Subscript[γ, F]))/3)((2 (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F])(1- (Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) (Subscript[γ, F]) (1+5 (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s3

s3=((1/2)((2(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((2 (Subscript[γ, F]))/3)((1+2 (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]) (1+5 (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s4

s4=((1/2)((2(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((2 (Subscript[γ, F]))/3)((2 (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(5/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

Sanity Check:

s1+s2+s3+s4//FullSimplify

s5

s5=((1/2)((2(Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((1+2 (Subscript[γ, F]))/3)((2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) (Subscript[γ, F]) (1+5 (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s6

s6=((1/2)((1+2(Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((1+2 (Subscript[γ, F]))/3)((1+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(1/9) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (-3+(Subscript[γ, G])+(Subscript[γ, F]) (-6+5 (Subscript[γ, G])))//TeXForm

s7

s7=((1/2)((0+2(Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((0+2 (Subscript[γ, F]))/3)((0+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

(5/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s8

s8=((1/2)((0+2(Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((0+2 (Subscript[γ, F]))/3)((1+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (-6+5 (Subscript[γ, G]))//TeXForm

Sanity Check:

s5+s6+s7+s8//FullSimplify

s9

s9=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((0+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+2 (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F])(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]) (1+5 (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s10

s10=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((0+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+2 (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F])(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(5/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s11

s11=((1/2)((1+2(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((1+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+2 (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]) (-3+(Subscript[γ, F])+(-6+5 (Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s12

s12=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((1+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+2 (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (-6+5 (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

Sanity Check:

s9+s10+s11+s12//FullSimplify

s13

s13=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((0+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(Subscript[γ, G])//FullSimplify

(5/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s14

s14=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((0+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (-6+5 (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s15

s15=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((1+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (-6+5 (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s16

s16=((1/2)((1+2(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((1+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (9-6 (Subscript[γ, G])+(Subscript[γ, F]) (-6+5 (Subscript[γ, G])))//TeXForm

Sanity Check:

s13+s14+s15+s16//FullSimplify

Finding Models in Maher's System

x_⊃y_:=¬x∨y;
x_≡y_:=(x⊃y)∧(y⊃x);
map={(Subscript[𝕒, 16])->s1,(Subscript[𝕒, 12])->s2,(Subscript[𝕒, 13])->s5,(Subscript[𝕒, 6])->s6,(Subscript[𝕒, 14])->s3,(Subscript[𝕒, 7])->s4,(Subscript[𝕒, 8])->s7,(Subscript[𝕒, 2])->s8,(Subscript[𝕒, 15])->s9,(Subscript[𝕒, 9])->s10,(Subscript[𝕒, 10])->s13,(Subscript[𝕒, 3])->s14,(Subscript[𝕒, 11])->s11,(Subscript[𝕒, 4])->s12,(Subscript[𝕒, 5])->s15,(Subscript[𝕒, 1])->s16};MaherModel[f_,g_]:=PrSAT[{Pr[Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s1,Pr[Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s2,
Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s3,Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s4,
Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s5,Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s6,
Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s7,Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s8,
Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s9,Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s10,
Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s11,Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s12,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s13,Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s14,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s15,Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s16}//.{(Subscript[γ, F])->f,(Subscript[γ, G])->g}];

cons=And@@AlgebraicForm[{Pr[Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s1,Pr[Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s2,
Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s3,Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s4,
Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s5,Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s6,
Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s7,Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s8,
Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s9,Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s10,
Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s11,Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s12,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s13,Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s14,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s15,Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s16},{Fa,Fb,Ga,Gb}];
FindMaherModel[props_]:=FindInstance[0<(Subscript[γ, F])<1&&0<(Subscript[γ, G])<1&&AlgebraicForm[(props&&cons),{Fa,Fb,Ga,Gb}]//.map,{(Subscript[γ, F]),(Subscript[γ, G])}];

Proof that no Carnapian-Nickerson Models Exist

FindMaherModel[Pr[Ga|Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa]]+Pr[¬Ga|Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa]]>Pr[Fa|Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Ga]]+Pr[¬Fa|Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Ga]]>Pr[Fa|¬Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Ga]]+Pr[¬Fa|¬Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Ga]]>Pr[Ga|¬Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa]]+Pr[¬Ga|¬Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa]]]

This can be shown also for the full 4-parameter case, as well as for other measures of confirmation.