<<PrSAT`

Computing the Measure on the State Descriptions

s1

s1=((1/2)((1+2(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((1+2 (Subscript[γ, F]))/3)((1+2 (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G])//FullSimplify

(1/9) (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]) (2+(Subscript[γ, G])+(Subscript[γ, F]) (1+5 (Subscript[γ, G])))//TeXForm

s2

s2=((1/2)((2(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((1+2 (Subscript[γ, F]))/3)((2 (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F])(1- (Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) (Subscript[γ, F]) (1+5 (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s3

s3=((1/2)((2(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((2 (Subscript[γ, F]))/3)((1+2 (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]) (1+5 (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s4

s4=((1/2)((2(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((2 (Subscript[γ, F]))/3)((2 (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(5/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

Sanity Check:

s1+s2+s3+s4//FullSimplify

s5

s5=((1/2)((2(Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((1+2 (Subscript[γ, F]))/3)((2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) (Subscript[γ, F]) (1+5 (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s6

s6=((1/2)((1+2(Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((1+2 (Subscript[γ, F]))/3)((1+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(1/9) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (-3+(Subscript[γ, G])+(Subscript[γ, F]) (-6+5 (Subscript[γ, G])))//TeXForm

s7

s7=((1/2)((0+2(Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((0+2 (Subscript[γ, F]))/3)((0+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

(5/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s8

s8=((1/2)((0+2(Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((0+2 (Subscript[γ, F]))/3)((1+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (-6+5 (Subscript[γ, G]))//TeXForm

Sanity Check:

s5+s6+s7+s8//FullSimplify

s9

s9=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((0+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+2 (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F])(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]) (1+5 (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s10

s10=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((0+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+2 (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F])(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(5/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s11

s11=((1/2)((1+2(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((1+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+2 (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]) (-3+(Subscript[γ, F])+(-6+5 (Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s12

s12=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+(1/2)((1+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+2 (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (-6+5 (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

Sanity Check:

s9+s10+s11+s12//FullSimplify

s13

s13=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((0+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(Subscript[γ, G])//FullSimplify

(5/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s14

s14=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((0+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (-6+5 (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s15

s15=((1/2)((0+2(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((1+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (-6+5 (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s16

s16=((1/2)((1+2(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+(1/2)((1+2 (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+2 (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (9-6 (Subscript[γ, G])+(Subscript[γ, F]) (-6+5 (Subscript[γ, G])))//TeXForm

Sanity Check:

s13+s14+s15+s16//FullSimplify

Finding Models in Maher's System

x_⊃y_:=¬x∨y;
x_≡y_:=(x⊃y)∧(y⊃x);
map={(Subscript[𝕒, 16])->s1,(Subscript[𝕒, 12])->s2,(Subscript[𝕒, 13])->s5,(Subscript[𝕒, 6])->s6,(Subscript[𝕒, 14])->s3,(Subscript[𝕒, 7])->s4,(Subscript[𝕒, 8])->s7,(Subscript[𝕒, 2])->s8,(Subscript[𝕒, 15])->s9,(Subscript[𝕒, 9])->s10,(Subscript[𝕒, 10])->s13,(Subscript[𝕒, 3])->s14,(Subscript[𝕒, 11])->s11,(Subscript[𝕒, 4])->s12,(Subscript[𝕒, 5])->s15,(Subscript[𝕒, 1])->s16};MaherModel[f_,g_]:=PrSAT[{Pr[Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s1,Pr[Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s2,
Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s3,Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s4,
Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s5,Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s6,
Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s7,Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s8,
Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s9,Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s10,
Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s11,Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s12,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s13,Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s14,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s15,Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s16}//.{(Subscript[γ, F])->f,(Subscript[γ, G])->g}];

MNC=MaherModel[1/1000,1/10]

EvaluateProbability[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga],MNC]//N

EvaluateProbability[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)],MNC]//N

Nickerson-style analysis of "expected confirmational power".  This yields an answer that is not in accord with the observed ordering.

EvaluateProbability[Pr[Fa|Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Ga]]+Pr[¬Fa|Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Ga]],MNC]//N

EvaluateProbability[Pr[Fa|¬Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Ga]]+Pr[¬Fa|¬Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Ga]],MNC]//N

EvaluateProbability[Pr[Ga|Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa]]+Pr[¬Ga|Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa]],MNC]//N

F (1) ~F (4) G (3) ~G (2)

EvaluateProbability[Pr[Ga|¬Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa]]+Pr[¬Ga|¬Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa]],MNC]//N

cons=And@@AlgebraicForm[{Pr[Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s1,Pr[Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s2,
Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s3,Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s4,
Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s5,Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s6,
Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s7,Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s8,
Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s9,Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s10,
Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s11,Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s12,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s13,Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s14,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s15,Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s16},{Fa,Fb,Ga,Gb}];
FindMaherModel[props_]:=FindInstance[0<(Subscript[γ, F])<1&&0<(Subscript[γ, G])<1&&AlgebraicForm[(props&&cons),{Fa,Fb,Ga,Gb}]//.map,{(Subscript[γ, F]),(Subscript[γ, G])}];

FindMaherModel[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga]<Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)]]

Hempel's intuition about the ravens is not vindicated in these later systems:

FindMaherModel[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|(Fa∧Ga)∧Ga]<Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Ga]]

Indeed, in his later systems there must be disconfirmation!

FindMaherModel[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|(Fa∧Ga)∧Ga]>Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Ga]]

Can we FIND later Carnapian models with the Nickerson-ordering?

FindMaherModel[Pr[Ga|Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa]]+Pr[¬Ga|Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa]]>Pr[Fa|Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Ga]]+Pr[¬Fa|Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Ga]]>Pr[Fa|¬Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Ga]]+Pr[¬Fa|¬Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Ga]]>Pr[Ga|¬Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa]]+Pr[¬Ga|¬Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa]]]

FindMaherModel[Pr[Ga|Fa]((Pr[Ga|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧Fa])/(Pr[Ga|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧Fa]))+Pr[¬Ga|Fa]((Pr[¬Ga|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧Fa])/(Pr[¬Ga|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧Fa]))>Pr[Fa|Ga]((Pr[Fa|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧Ga])/(Pr[Fa|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧Ga]))+Pr[¬Fa|Ga]((Pr[¬Fa|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧Ga])/(Pr[¬Fa|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧Ga]))>Pr[Fa|¬Ga]((Pr[Fa|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧¬Ga])/(Pr[Fa|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧¬Ga]))+Pr[¬Fa|¬Ga]((Pr[¬Fa|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧¬Ga])/(Pr[¬Fa|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧¬Ga]))>Pr[Ga|¬Fa]((Pr[Ga|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧¬Fa])/(Pr[Ga|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧¬Fa]))+Pr[¬Ga|¬Fa]((Pr[¬Ga|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧¬Fa])/(Pr[¬Ga|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧¬Fa]))]

NO!!  The later Carnapian systems are also incompatible with this ordering.  Perhaps in the full system?

FindMaherModel[Pr[Fb≡Gb|Fa∧Ga]<Pr[Fb≡Gb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|Fa∧Ga]<Pr[Gb]]

FindMaherModel[Pr[Fb≡Gb|Fa≡Ga]<Pr[Fb≡Gb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|Fa≡Ga]<Pr[Gb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|(Fa≡Ga)∧Fb]<Pr[Gb|Fb]]

FindMaherModel[Pr[Fb≡Gb|Fa∧Ga∧Fb]<Pr[Fb≡Gb|Fb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|(Fa≡Ga)∧¬Fb]<Pr[Gb|¬Fb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|(Fa∧Ga)∧¬Fb]<Pr[Gb|¬Fb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|Ga]>Pr[Gb|Ga∧(Fa∧¬Fb)]>Pr[Gb]]

FindMaherModel[Not[Pr[Gb|Ga]>Pr[Gb|Ga∧(Fa∧¬Fb)]>Pr[Gb]]]

FindMaherModel[Pr[Fa|(Fa⊃Ga)∧(Fb⊃Gb)]<Pr[Fa]]

FindMaherModel[Pr[Ga|(Fa⊃Ga)∧(Fb⊃Gb)]<Pr[Ga]]

Computing the Measure on the State Descriptions (full, 4 parameter case)

s1

s1=((1-ι)((1+λ (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+ι((1+λ (Subscript[γ, F]))/3)((1+λ (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G])//FullSimplify

(1/9) (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]) (3-2 ι+ι λ (Subscript[γ, G])+λ (Subscript[γ, F]) (ι+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, G])))//TeXForm

s2

s2=((1-ι)((λ (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+ι((1+λ (Subscript[γ, F]))/3)((λ (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F])(1- (Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) λ (Subscript[γ, F]) (ι+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s3

s3=((1-ι)((λ (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+ι((λ (Subscript[γ, F]))/3)((1+λ (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) λ (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]) (ι+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s4

s4=((1-ι)((λ (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]))/3)+ι((λ (Subscript[γ, F]))/3)((λ (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(1/9) (3+ι (-3+λ)) λ (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

Sanity Check:

s1+s2+s3+s4//.{λ->2,ι ->1/2}//FullSimplify

s5

s5=((1-ι)((λ (Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+ι((1+λ (Subscript[γ, F]))/3)((λ (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) λ (Subscript[γ, F]) (ι+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s6

s6=((1-ι)((1+λ (Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+ι((1+λ (Subscript[γ, F]))/3)((1+λ (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(1/9) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (-3-ι (-2+λ)+ι λ (Subscript[γ, G])+λ (Subscript[γ, F]) (-3-ι (-2+λ)+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, G])))//TeXForm

s7

s7=((1-ι)((0+λ (Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+ι((0+λ (Subscript[γ, F]))/3)((0+λ (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

(1/9) (3+ι (-3+λ)) λ (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s8

s8=((1-ι)((0+λ (Subscript[γ, F]) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+ι((0+λ (Subscript[γ, F]))/3)((1+λ (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(1/9) λ (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (-3-ι (-2+λ)+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, G]))//TeXForm

Sanity Check:

s5+s6+s7+s8//.{λ->2,ι ->1/2}//FullSimplify

s9

s9=((1-ι)((0+λ(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+ι((0+λ (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+λ (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F])(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) λ (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (Subscript[γ, G]) (ι+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s10

s10=((1-ι)((0+λ(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+ι((0+λ (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+λ (Subscript[γ, G]))/3))(Subscript[γ, F])(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(1/9) (3+ι (-3+λ)) λ (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s11

s11=((1-ι)((1+λ(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+ι((1+λ (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+λ (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]) (λ (Subscript[γ, F]) (ι+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, G]))-(3+ι (-2+λ)) (1+λ (Subscript[γ, G])))//TeXForm

s12

s12=((1-ι)((0+λ(1-(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, G]))/3)+ι((1+λ (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+λ (Subscript[γ, G]))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) λ (-1+(Subscript[γ, F])) (-3-ι (-2+λ)+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

Sanity Check:

s9+s10+s11+s12//.{λ->2,ι ->1/2}//FullSimplify

s13

s13=((1-ι)((0+λ(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+ι((0+λ (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+λ (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(Subscript[γ, G])//FullSimplify

(1/9) (3+ι (-3+λ)) λ (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s14

s14=((1-ι)((0+λ(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+ι((0+λ (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+λ (1-(Subscript[γ, G])))/3))(Subscript[γ, F])(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

-(1/9) λ (-1+(Subscript[γ, F])) (Subscript[γ, F]) (-1+(Subscript[γ, G])) (-3-ι (-2+λ)+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, G]))//TeXForm

s15

s15=((1-ι)((0+λ(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+ι((1+λ (1-(Subscript[γ, F])))/3)((0+λ (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(Subscript[γ, G])//FullSimplify

-(1/9) λ (-1+(Subscript[γ, F])) (-3-ι (-2+λ)+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (Subscript[γ, G])//TeXForm

s16

s16=((1-ι)((1+λ(1-(Subscript[γ, F])) (1-(Subscript[γ, G])))/3)+ι((1+λ (1-(Subscript[γ, F])))/3)((1+λ (1-(Subscript[γ, G])))/3))(1-(Subscript[γ, F]))(1-(Subscript[γ, G]))//FullSimplify

(1/9) (-1+(Subscript[γ, F])) (-1+(Subscript[γ, G])) (λ (Subscript[γ, F]) (-3-ι (-2+λ)+(3+ι (-3+λ)) (Subscript[γ, G]))-(3+ι (-2+λ)) (-1-λ+λ (Subscript[γ, G])))//TeXForm

Sanity Check:

s13+s14+s15+s16//.{λ->2,ι ->1/2}//FullSimplify

Finding Models in Maher's System (full, 4 parameter case)

x_⊃y_:=¬x∨y;
x_≡y_:=(x⊃y)∧(y⊃x);
map={(Subscript[𝕒, 16])->s1,(Subscript[𝕒, 12])->s2,(Subscript[𝕒, 13])->s5,(Subscript[𝕒, 6])->s6,(Subscript[𝕒, 14])->s3,(Subscript[𝕒, 7])->s4,(Subscript[𝕒, 8])->s7,(Subscript[𝕒, 2])->s8,(Subscript[𝕒, 15])->s9,(Subscript[𝕒, 9])->s10,(Subscript[𝕒, 10])->s13,(Subscript[𝕒, 3])->s14,(Subscript[𝕒, 11])->s11,(Subscript[𝕒, 4])->s12,(Subscript[𝕒, 5])->s15,(Subscript[𝕒, 1])->s16};MaherModel[f_,g_,l_,i_]:=PrSAT[{Pr[Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s1,Pr[Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s2,
Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s3,Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s4,
Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s5,Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s6,
Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s7,Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s8,
Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s9,Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s10,
Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s11,Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s12,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s13,Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s14,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s15,Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s16}//.{(Subscript[γ, F])->f,(Subscript[γ, G])->g,λ->l,ι->i}];

MNC=MaherModel[1/1000,1/10,2,1/2]

EvaluateProbability[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga],MNC]//N

EvaluateProbability[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)],MNC]//N

cons=And@@AlgebraicForm[{Pr[Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s1,Pr[Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s2,
Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s3,Pr[Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s4,
Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s5,Pr[Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s6,
Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s7,Pr[Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s8,
Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧Gb]==s9,Pr[¬Fa∧Ga∧Fb∧¬Gb]==s10,
Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧Gb]==s11,Pr[¬Fa∧Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s12,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧Gb]==s13,Pr[¬Fa∧¬Ga∧Fb∧¬Gb]==s14,
Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧Gb]==s15,Pr[¬Fa∧¬Ga∧¬Fb∧¬Gb]==s16},{Fa,Fb,Ga,Gb}];
FindMaherModel[props_]:=FindInstance[0<(Subscript[γ, F])<1&&0<(Subscript[γ, G])<1&&λ>0&&0<ι<1&&AlgebraicForm[(props&&cons),{Fa,Fb,Ga,Gb}]//.map,{(Subscript[γ, F]),(Subscript[γ, G]),λ,ι}];

FindMaherModel[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga]<Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)]]

FindMaherModel[Pr[Fb≡Gb|Fa∧Ga]<Pr[Fb≡Gb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|Fa∧Ga]<Pr[Gb]]

FindMaherModel[Pr[Fb≡Gb|Fa≡Ga]<Pr[Fb≡Gb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|Fa≡Ga]<Pr[Gb]]

This one result changes. That is, conditional upon Fb, we can have Fa ≡ Ga negatively relevant to Gb.

FindMaherModel[Pr[Gb|(Fa≡Ga)∧Fb]<Pr[Gb|Fb]]

FindMaherModel[Pr[Fb≡Gb|Fa∧Ga∧Fb]<Pr[Fb≡Gb|Fb]]

Interestingly, conditional upon NOT Fb, both results DO hold.  This is the salient point Goodman should have made.  Now, the argument hinges completely on (RTE).

FindMaherModel[Pr[Gb|(Fa≡Ga)∧¬Fb]≤Pr[Gb|¬Fb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|(Fa≡Ga)∧¬Fb]>Pr[Gb|¬Fb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|Fa∧Ga∧¬Fb]≤Pr[Gb|¬Fb]]

FindMaherModel[Pr[Gb|Fa∧Ga∧¬Fb]>Pr[Gb|¬Fb]]

Fa is ALWAYS negatively relevant to "All Fs are Gs", and Ga is ALWAYS positively relevant.

FindMaherModel[Pr[Fa|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)]≥Pr[Fa]]

FindMaherModel[Pr[Ga|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)]≤Pr[Ga]]

¬ Fa ∧ ¬ Ga must disconfirm "All Fs are Gs", conditional upon  ¬ Fa

FindMaherModel[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧¬Ga]≥Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)| ¬Fa]]

Can we find Nickerson-ordered models, in the full 4-parameter case?

FindMaherModel[Pr[Ga|Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa]]+Pr[¬Ga|Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa]]>Pr[Fa|Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Ga]]+Pr[¬Fa|Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Ga]]>Pr[Fa|¬Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Ga]]+Pr[¬Fa|¬Ga]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Ga]]>Pr[Ga|¬Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa]]+Pr[¬Ga|¬Fa]Abs[Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa∧¬Ga]-Pr[(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)|¬Fa]]]

FindMaherModel[Pr[Ga|Fa]((Pr[Ga|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧Fa])/(Pr[Ga|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧Fa]))+Pr[¬Ga|Fa]((Pr[¬Ga|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧Fa])/(Pr[¬Ga|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧Fa]))>Pr[Fa|Ga]((Pr[Fa|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧Ga])/(Pr[Fa|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧Ga]))+Pr[¬Fa|Ga]((Pr[¬Fa|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧Ga])/(Pr[¬Fa|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧Ga]))>Pr[Fa|¬Ga]((Pr[Fa|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧¬Ga])/(Pr[Fa|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧¬Ga]))+Pr[¬Fa|¬Ga]((Pr[¬Fa|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧¬Ga])/(Pr[¬Fa|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧¬Ga]))>Pr[Ga|¬Fa]((Pr[Ga|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧¬Fa])/(Pr[Ga|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧¬Fa]))+Pr[¬Ga|¬Fa]((Pr[¬Ga|(Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb)∧¬Fa])/(Pr[¬Ga|¬((Fa⊃Ga)∧ (Fb⊃Gb))∧¬Fa]))]